Ejercicios de reducción de términos semejantes

Los siguientes ejercicios se considerarán para puntos extra en las clases del Grupo 4 y Grupo 6. 

Reducción de términos semejantes

1)   Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.

Regla: Se suman los coeficientes, poniendo delante de la suma el mismo signo que tienen toodos y a continuación se escribe la parte literal.

•  3a + 2a = 5a
• - 5b - 7b = - 12b
• - a² - 9a² = - 10 a²

 

• Realiza los siguientes ejercicios:
• x + 2x =
• 8a + 9a =
• - b - 5b =
• a^x + 3a^x +8a^x =
• - x - 2/3 x - 1/6 x =
• - x²y - 8x²y - 9x²y - 20x²y

2)  Reducción de dos términos semejantes de distinto signo.

Regla: Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

•  2a - 3a = - a
• 18 x - 11 x = 7 x
• - 8 ax + 13 ax = 5 ax
• 1/2 a  - 2/3 a  =  - 1/6 a
• ½ n – 2/3n  = 3 – 4 n  = 1/6 n
                             6
   

• Realiza los siguientes ejercicios:
• 8a - 6a =
• 15 ab - 9 ab =
• - 14 xy + 32 xy =
• 1/2 a - 2/4 a =
• 5/6 a²b - 5/12 a²b =
• 7 x²y - 5 x²y =
• 4 a² - 1/3 a² =

3)   Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos.

Regla: Se reduce a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo término todos los negativos y a los resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior.

•  Reducir  5a - 8a + a - 6a + 21a = 13 a

             positivos: 5a + a + 21a = 27a
             negativos:  - 8a - 6a = - 14a
             reduciendo términos resultantes:  27 a - 14 a = 13a

• Reducir  - 2/5 bx² + 1/5 bx² + 3/4 bx² - 4bx² + bx² = - 49/20 bx²

            reducción de positivos:  1/5 + 3/4 + 1 = 4/20 + 15/20 + 20/20 = 39/20 bx²
            reducción de negativos:  - 2/5 - 4 =  - 2/5 - 20/5 = - 22/5 bx²
            reduciendo términos resultantes:   39/20 bx² - 22/5 bx² =  39/20 bx² - 88/20 bx² = - 49/20 bx² 

• Realiza los siguientes ejercicios:
• 9a - 3a +6 5a =
• 12 mn - 23 mn - 5mn =
• - 11ab - 15ab + 26ab =
• 2/3 y + 1/3 y - y =
• 3/8 a²b + 1/4 a²b - a²b =
• 7ab + 21ab - ab - 80ab =
• 105 a³ - 464 a³ + 58a³ + 301 a³ =
• 3/5 a²b - 1/6 a²b + 1/3 a²b  - a²b =

4) Reducción de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases.

• Reducir el polinomio 5a - 6b + 8c + 9a - 20c - b + 6b - c =  14a - b - 13c

           reducir términos en a =  5a + 9a = 14a

           reducir términos en b =  - 6b - b + 6b =  - b

           reducir términos en c =   8c - 20c - c = - 13 c

• Reducir el polinomio:  8a³b² + 4a⁴b³  6a³b² - a³b² - 9a⁴b³ - 15 - 5ab⁵ + 8 - 6ab⁵

           reducir término a⁴b³         4a⁴b³  - 9a⁴b³  =  - 5a⁴b³  
           reducir término a³b²         8a³b² + 6a³b² - a³b² =  13 a³b² 
           reducir término ab⁵           -5ab⁵  - 6ab⁵   =  - 11ab⁵ 
           reducir término independientes     - 15 + 8  = 7
                          El resultado será:   - 5a⁴b³ + 13 a³b²- 11ab⁵ + 7

•  Realiza los siguientes ejercicios:
• 7a - 7b + 6a - 4b =
•  a + b - c - b - c + 2c - a =
•  5x - 11y - 9 + 20x - 1 - y =
•  - 6m + 8n + 5 - m - n - 6m - 11 =
•  - 81x + 19y - 30z + 6y + 80x + x - 25y =
•  - 71a³b - 84a⁴b² + 50a³b + 84a⁴b² - 45a³b + 18a³b =
•   m² + 71mn - 14m² - 65mn + m³ - m² - 115 m² + 6m³ =
• x⁴y - x³y² + x²y - 8x⁴y - x²y - 10 + x³y² - 7x³y² - 9 + 21x⁴y - y³ + 50 =

Reducción de fracciones al mínimo común denominador

Este tema se ha visto de manera extendida y noto que aún quedan dudas. Por lo tanto, les dejo estos videos que explican de manera clara y más amplia el tema de la solución de fracciones por medio del mínimo común denominador. 

Reducción de fracciones con mínimo común denominador

Reducción de fracciones algebraicas a mínimo común denominador

Reducción de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases

Procedimiento:

1. Se reducen por separado los términos semejantes de cada clase, por ejemplo (2x+5x-3x) , (4y-2y-y)
2. A cada clase de aplica la reducción que corresponda según si son signos iguales o distintos.
3. Con los resultados de cada clase se forma la solución final.

Ejemplos: 

5a-6b+8c+9a-20c-b+6b-c = 14a -b -13c –> 5a+9a = (5+9)a = 14a
.      -6b-b+6b = (-6-1+6)b = -b
.      8c-20c-c = (8-20-1)c = -13b

7a -9b +6a -4b = 13a -13b
–> 7a +6a = (7+6)a = 13a
.       -9b -4b = (-9 -4)b = -13b

5x -11y -9 +20x -1 -y = 25x -12y -10
–> 5x +20x = (5+20)x = 25x
.      -11y -y = (-11 -1)y = -12y
.      -9 -1 = -10

Reducción de más de dos términos semejantes de distinto signo

Regla:  Se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se restan poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y luego se escribe la parte literal.

Ejemplos:

1) 9a -3a +5a = 11a
–> (9 +5)a+(-3)a = 14a -3a = (14-3)a = 11a

2) -8x +9x -x = 0
–> (-8 -1)x+(9)x = -9x +9x = (-9 +9)x = 0x = 0

3) 12mn -23mn -5mn = -16mn
–> (12)mn+(-23 -5)mn = 12mn -28mn = (12-28)mn = -16mn

Reducción de dos términos semejantes de distinto signo

Regla:  Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.    

Ejemplos:

2a -3a = -a   –> ( 2-3 = – 1)    ;   signo mayor ( – )  ;  literal ( a ) –> -1a = -a

18x -11x = 7x –> (18-11= 7)  ;  signo mayor (+)  ;  literal (x) –> 7x

-20ab+11ab= -9ab –> (-20+11=-9) ; signo mayor (-) ; literal (ab) –> -9ab

-8y +13y = 5y  –> (-8+13 = 5)  ; signo mayor (+) ;  literal (y) –> 5y

Reducción de términos semejantes del mismo signo

Para reducir términos semejantes  con el mismo signo se suman los coeficientes de todos los términos y se antepone, al coeficiente total, el mismo signo que se comparten y a continuación se escribe  la parte literal.  

Reducir:

1.- x + 2x

S o l u c i ó n

El signo común a todos los términos es +

Los coeficientes de los términos son 1 y 2

La parte literal es x.

Por lo tanto (1 + 2) x = 3x

2.-  8a + 9a

S o l u c i ó n :

El signo común a todos los términos es el +.

Los coeficientes de los términos son 8 y 9.

La parte literal  en todos los términos es a.

Y     8 + 9 = 17;

Por lo tanto     8a + 9a = 17a. 

3.-   -b - 5b.

Solución:

El signo común a todos los términos es el -.

Los coeficientes de los términos son  1 y 5.

La parte literal en todos los términos es  b.

Y     1 + 5 = 6;

Por lo tanto     -b - 5b = -6b.

Términos semejantes

En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.

Por ejemplo:

6 a²b³ es término semejante con – 2 a²b³ porque ambos tienen el mismo factor literal (a²b³)

1/3 x⁵yz es término semejante con x⁵yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x⁵yz)

0,3 a²c no es término semejante con 4 ac² porque los exponentes no son iguales, están al revés.

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal. 

Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.

Recordando cómo se suman los números enteros:
 

Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual signo y números con signo distinto.

Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo.

      Ej  :         – 3   +   – 8  =   – 11      ( sumo y conservo el signo)

                      12   +   25  =   37       ( sumo y conservo el signo)

        Ej  :   – 7   +   12   =   5    (tener 12 es lo mismo que tener  +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12  -  7  =   5 

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto 

                    5   +   – 51   =   – 46    ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)
                   – 14  +   34   =    20

Recordando cómo se resta:

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. 

Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a)      Cambiar el signo de la resta en suma

b)      Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ej:      – 3  –  10    =    – 3    +  – 10  =    – 13   ( signos iguales se suma y conserva el signo)
            19   – 16    =      19 +  – 16   =     19   –    16    =    3

Ejemplo 1:

xy³ – 3 x²y + 5 xy³ – 12 x²y + 6                 Hay dos tipos de factores literales: xy³ y x²y

                                                                   Hay también una constante numérica: 6

Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numéricos de  xy³ con  5xy³  y –3 x²y con –12 x²y.

Hay que tener presente que cuando una expresión no tiene un coeficiente, es decir, un número significa que es 1 (x³y = 1 xy³).

xy³ – 3 x²y + 5 xy³ – 12 x²y + 6  =        6 xy³  +  – 15 x²y + 6       

             1 + 5 = 6

               – 3 – 12 = – 15

Ejemplo 2:

3ab – 5abc + 8ab + 6abc –10 + 14ab – 20 =  25ab + 1abc – 30

 Operaciones:

                3 + 8 +14 = 25 ab

                – 5 + 6     =  + 1 abc

                – 10 – 20 = – 30